実数列の収束とその逆数列の収束 - たけみたの脱社会学日記

『経済学のための数学入門』、定理2.2.1（2）（69頁）。

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a_*}$ のとき（ただし、 $\displaystyle{\forall n, a_n \neq 0}$ かつ $\displaystyle{a_* \neq 0}$ ）、
$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_{n}^{-1} = a_*^{-1}}$ である。

実数列の収束についてはこちらをまずどうぞ。
実数列がある実数に収束するとき、その逆数の列は、もとの実数列の収束先の逆数に収束する、ということですね。直観的には、 $y=\frac{1}{x}$ のグラフ（双曲線）を描いてみれば、たとえばx軸の方で $\displaystyle{x=2}$ にどんどん近づいていけば、y軸の方ではそれに対応して $y=\frac{1}{2}$ に近づいていくことが確認できるでしょう。

実数列 $\displaystyle{ \{ a_n^{-1} \}_{n=0}^{\infty} }$ が実数 $\displaystyle{a_*^{-1}}$ に収束するかどうかが問題になっているわけですから、とりあえずは距離

$\displaystyle{ d \left(a_n^{-1}, a_*^{-1} \right) = \left|a_n^{-1} - a_*^{-1} \right|}$

について考えてみるといいですよね。なのでこれを式変形していきます。

$\displaystyle{ \begin{align*} d \left(a_n^{-1}, a_*^{-1} \right) &= \left|a_n^{-1} - a_*^{-1} \right| \\ &= \left|\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_*} \right| \\ &= \left| \frac{a_* - a_n}{a_n a_*} \right| \\ &= \frac{1}{|a_n|} \cdot \frac{1}{|a_*|} \cdot | a_* - a_n | \end{align*} }$

すると、上のように、3つの項の積として表されることがわかりました。そのうち、 $\displaystyle{| a_* - a_n |}$ は、 $\displaystyle{ \{ a_n \}_{n=0}^{\infty} }$ が $\displaystyle{a_*}$ に収束することから、どういうことになるのかはわかっています。また $\frac{1}{|a_*|}$ は定数です。なので、考えどころは $\frac{1}{|a_n|}$ だけですね。

ここからは、うまいこと説明できないので、テキストに書いてある証明をフォローするだけになります（残念）。ただまあ、要は、 $\displaystyle{a_n}$ と $\displaystyle{a_*}$ との関係から、 $\displaystyle{a_n^{-1}}$ と $\displaystyle{a_*^{-1}}$ の関係を探っていこうとしている、ということは言えるでしょう。
さて一般に、次が成り立ちます。

$\displaystyle{ \begin{align*} \left| a_n + (a_* - a_n) \right| &\leq& \left| a_n \right| + \left| a_* - a_n \right| \\ \left| a_* \right| &\leq& \left| a_n \right| + \left| a_* - a_n \right| \end{align*} }$

足してから絶対値をとるより、絶対値をとってから足した方が大きくなる可能性があるんですよね。足す数同士の正負が違うと、絶対値が減っちゃうからですね。符号が同じならいいんですけど。
ここで、 $\frac{ |a_*| }{2}$ という数を導入します。これは正数ですから、 $\displaystyle{ \{ a_n \}_{n=0}^{\infty} }$ が $\displaystyle{a_*}$ に収束するということから、

$\displaystyle{\exists m \in \mathbf{N}, \forall n(m \leq n), \left| a_n - a_* \right| \leq \frac{ \left| a_* \right|}{2} }$

となります。以下、この $\displaystyle{m}$ 以降の（以上の） $\displaystyle{n}$ について議論します。さてこれを上の結果と合わせると、

$\displaystyle{\left| a_* \right| \leq \left| a_n \right| + \left| a_* - a_n \right| \leq \left| a_n \right| + \frac{ \left| a_* \right|}{2} }$

真ん中を抜きましょう。すると、

$\displaystyle{\begin{align*} \left| a_* \right| &\leq \left| a_n \right| + \frac{ \left| a_* \right|}{2} \\ 0 < \frac{\left| a_* \right|}{2} &\leq \left| a_n \right| \end{align*} }$

となりますね。正数同士だと、逆数をとったら大小関係が逆転しますから、こうなります。

$\displaystyle{0 < \frac{1}{|a_n|} \leq \frac{2}{\left| a_* \right|} }$

この結果を持って、上の3項の積のところに戻りましょう。すると、

$\displaystyle{ d \left(a_n^{-1}, a_*^{-1} \right) = \frac{1}{|a_n|} \cdot \frac{1}{|a_*|} \cdot | a_* - a_n | \leq \frac{2}{|a_*|} \cdot \frac{1}{|a_*|} \cdot | a_* - a_n | }$

こうなります。結局、 $\frac{2}{|a_*|} \cdot \frac{1}{|a_*|}$ は正の定数ですから、これを $\displaystyle{k}$ と書くことにしましょう。すると

$\displaystyle{ d \left(a_n^{-1}, a_*^{-1} \right) \leq k| a_* - a_n |}$

こうですね。さて、 $\displaystyle{ \{ a_n \}_{n=0}^{\infty} }$ が $\displaystyle{a_*}$ に収束するということから、任意の $\displaystyle{\epsilon >0}$ に対して、ある番号以降のすべての $\displaystyle{n}$ について