【誤解してました】実数列の収束と、収束先との距離について

Bolzano-Weierstrassの定理（「有界な実数列からは、必ず、収束する部分列がつくれる」）の証明を考えていて、どうもよくわからんなあ、と思っていたら、実数列の収束ということについて、ひどい勘違いをしていたことが判明しました。
てっきり「ある実数列が収束するとき、収束先との距離は単調減少する」と思い込んでいたのです（実数列の収束についてはこちら）。
つまり、数直線で考えたとき、実数列の添字番号が進むにしたがって、収束先を飛び越えて向こう側にいくことはあっても、収束先との距離が大きくなることはない、と思っていたわけです。
収束というのは、収束先からの距離を任意に設定しても、どこかの番号以降はその距離圏に入る、というだけのことで、だから、実は番号が進んだけど、前の番号よりも収束先から距離が離れる、ということだってあっていいんです。たとえば

という実数列は に収束しますが、

というふうに、あいだに がはさまっても、やはり に収束するわけです。なのに、後者は収束するとは言わないと思っていたんですね。アホです。
気付いてしまえば、なんでこんなこと思い込んでいたんだろうと不思議でなりませんが、なんか思い込んでしまってました。こういう間違いに気付けるという点で、やはり証明をきちんと追うのは大切ですね、と無理やり教訓めいてみました。