区間縮小法 - たけみたの脱社会学日記

『経済学のための数学入門』、定理2.2.5（75頁）。

$\displaystyle{\mathbf{R}}$ の有界閉区間の縮小列、 $\displaystyle{I_n = [a_n,b_n],n \in \mathbf{N}}$ を考える。すなわち、 $\displaystyle{\forall n \in \mathbf{N}, I_n \supset I_{n+1}}$ とする。このとき、 $\bigcap_{n \in \mathbf{N}} I_n \neq \phi$ である。

まず、有界閉区間というのは、言葉でいうと、○○以上××以下の間に含まれる実数の集合、ということです。つまり、

$\displaystyle{I_n = [a_n,b_n] = \{ x \mid x \in \mathbf{R}, a_n \leq x \leq b_n \}}$

です。で、それの縮小列というのは、要するに左右からだんだんと区間を狭めていくよ、ということです。区間の列を縦に書いてみますと、

$\displaystyle{\begin{align*} I_0 &=& [a_0,b_0] \\ I_1 &=& [a_1,b_1] \\ I_2 &=& [a_2,b_2] \\ \vdots \\ I_n &=& [a_n,b_n] \\ \vdots \end{align*}}$

という列があって、縮小列というのは、次の区間が前の区間の真部分集合になっているということですから、

$\displaystyle{I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \cdots}$

ということで、これはすなわち、

$\displaystyle{a_0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq b_n \leq \cdots \leq b_2 \leq b_1 \leq b_0}$

ということです。
で、定理の最後の $\bigcap_{n \in \mathbf{N}} I_n \neq \phi$ というのは、これらの区間列のすべてに共通の実数が必ず存在する、ということです。

ここで、「有界で単調なら収束する」を使います。
さて、 $\displaystyle{\{ a_n \}_{n=0}^{\infty}}$ は、有界で、かつ単調増加ですから、最小上界に収束します。

$\displaystyle{a_* = \lim_{n \to \infty} a_n = \sup \{ a_n \mid n \in \mathbf{N} \}}$

それから $\displaystyle{\{ b_n \}_{n=0}^{\infty}}$ は、有界で、かつ単調減少ですから、最大下界に収束します。

$\displaystyle{b_* = \lim_{n \to \infty} b_n = \inf \{ b_n \mid n \in \mathbf{N} \}}$

で、区間を縮小していくわけですから、明らかに

$\displaystyle{\forall n, a_n \leq b_n}$

ですが、こういうときは収束先同士も同じ大小関係になりますから、

$\displaystyle{a_* \leq b_*}$

ですね。 $\displaystyle{a_*}$ が $\displaystyle{\{ a_n \}_{n=0}^{\infty}}$ の最小上界であり、 $\displaystyle{b_*}$ が $\displaystyle{\{ b_n \}_{n=0}^{\infty}}$ の最大下界であることから、区間 $\displaystyle{[a_*,b_*]}$ は区間列 $\displaystyle{I_n}$ のすべてに共通の部分集合です。
かつ、 $\displaystyle{[a_*,b_*] = \phi}$ は明らかですから（だって $\displaystyle{a_*}$ とか $\displaystyle{b_*}$ はこの区間に含まれるわけですから）、結局、区間列 $\displaystyle{I_n}$ は、すべてに共通の非空部分集合を持つことになります。これで証明は終わりです。