「コーシー列は収束する」の証明 - たけみたの脱社会学日記

『経済学のための数学入門』、定理2.2.4（74頁）。

$\displaystyle{\mathbf{R}}$ において、コーシー列は必ず収束する。

コーシー列とは何かとか、「収束するならコーシー列だ」といったことについては、まずこちら。
今回の定理は、「コーシー列なら収束する」というわけで、先の定理とあわせて、実数列が「収束する」ということと、その実数列が「コーシー列である」ということが、同値であるということを示しています。

証明の戦略は、二段階です。まず、「コーシー列は有界だ」ということを示します。「有界な実数列からは収束する部分列がつくれる」ので、それを使って、次に、「コーシー列は収束する」ことを示します。

まず、コーシー列は有界であることを示しましょう。
$\displaystyle{\{ x_n \}_{n=0}^{\infty}}$ がコーシー列だとしましょう。コーシー列ですから、任意の実数 $\displaystyle{\epsilon_1 >0}$ を固定すると、ある番号 $\displaystyle{\bar{n}}$ 以降は（つまり任意の $\displaystyle{m,n \geq \bar{n}}$ について）、

$\displaystyle{d(x_m,x_n) \leq \epsilon_1}$

が成り立ちます。これらの番号の最初は $\displaystyle{\bar{n}}$ ですから、任意の $\displaystyle{n \geq \bar{n}}$ について、

$\displaystyle{d(x_{\bar{n}},x_n) \leq \epsilon_1}$

が成り立つということもいえます。つまり、 $\displaystyle{\bar{n}}$ 以降の番号の要素は、すべて、 $\displaystyle{x_{\bar{n}}}$ から距離 $\displaystyle{\epsilon_1}$ の圏内にある、ということですね。
てことは、実数 $\displaystyle{x_{\bar{n}} + \epsilon_1}$ は、それらの番号の要素のどれよりも「小さくない」ですし、実数 $\displaystyle{x_{\bar{n}} - \epsilon_1}$ は、それらの番号の要素のどれよりも「大きくない」ってことですよね。
だから、それらの要素の集合 $\displaystyle{X_{\bar{n}} = \{ x_n \mid n \geq \bar{n} \}}$ を考えると、実数 $\displaystyle{x_{\bar{n}} + \epsilon_1}$ は $\displaystyle{X_{\bar{n}}}$ の「上界」であり、実数 $\displaystyle{x_{\bar{n}} - \epsilon_1}$ は $\displaystyle{X_{\bar{n}}}$ の「下界」だということです。つまり、集合 $\displaystyle{X_{\bar{n}}}$ は有界です。
さて、実数列 $\displaystyle{\{ x_n \}_{n=0}^{\infty}}$ の要素の集合を $\displaystyle{X_n}$ とすると、これは、さっきの $\displaystyle{X_{\bar{n}}}$ に、

$\displaystyle{x_0,x_1,x_2, \cdots , x_{\bar{n}-1}}$

という $\displaystyle{\bar{n}}$ 個の要素を付け加えたものにすぎませんから、 $\displaystyle{X_{\bar{n}}}$ が有界なら、 $\displaystyle{X_{n}}$ も有界です。集合 $\displaystyle{X_{n}}$ が有界ということは、実数列 $\displaystyle{\{ x_n \}_{n=0}^{\infty}}$ が有界だということです。
以上で、ある実数列がコーシー列なら、それは有界だということが示されました。

「有界な実数列からは収束する部分列がつくれる」ので、つくっちゃいます。部分列 $\displaystyle{\{ x_{n_{t}} \}_{t=0}^{\infty}}$ は実数 $\displaystyle{x_*}$ に収束する、っと。
はいここで、 $\displaystyle{\epsilon>0}$ を任意に固定します。
上の部分列が収束するってことから、どこかの番号 $\displaystyle{s}$ 以降の任意の番号 $\displaystyle{t}$ については、

$\displaystyle{d(x_{n_{t}},x_*)} \leq \frac{\epsilon}{2}$

が成り立ちます。
もとの実数列の方も、これはコーシー列ですから、どこかの番号 $\displaystyle{\hat{n}}$ 以降の任意の番号について

$\displaystyle{d(x_m,x_n)} \leq \frac{\epsilon}{2}$

とできます。
当たり前ですが、 $\displaystyle{n_s}$ と $\displaystyle{\hat{n}}$ のうち、大きい（小さくない）方（これを $\displaystyle{\bar{n}}$ と書くことにします。上に出てきた $\displaystyle{\bar{n}}$ とは関係なく。）以降の番号については、上の二つの不等式がどちらも成り立ちます。
これを使って、三角不等式から一気に仕上げです。 $\displaystyle{\bar{n}}$ 以降の番号の要素については

$\displaystyle{d(x_n,x_*) \leq d(x_n,x_{\bar{n}}) + d(x_{\bar{n},x_*}) \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon}$

となりますよねー。これはまさに、もとの実数列が $\displaystyle{x_*}$ に収束するということです。というわけで証明終わり。