「収束する実数列は、部分列の収束先に収束する」の証明

『経済学のための数学入門』、練習問題2.2.1（2）（74頁）。

実数列 $\displaystyle{\{ x_i \}_{i=0}^{\infty}}$ の任意の部分列 $\displaystyle{\{ x_{i_n} \}_{n=0}^{\infty}}$ を考える。このとき、
「 $\displaystyle{\{ x_i \}_{i=0}^{\infty}}$ が収束し、かつ $\displaystyle{\{ x_{i_n} \}_{n=0}^{\infty}}$ が $\displaystyle{x_*}$ に収束する」
ならば
「 $\displaystyle{\{ x_i \}_{i=0}^{\infty}}$ も $\displaystyle{x_*}$ に収束する」

部分列についてはこちら。
実数列の収束についてはこちら。
もとの実数列が収束することはわかっていて、部分列の方は収束先までわかっているなら、もとの実数列の収束先もそれだ、ということですね。

もとの実数列 $\displaystyle{\{ x_i \}_{i=0}^{\infty}}$ については、「収束する」ということはわかっているので、その収束先を $\displaystyle{x'}$ と書くことにしましょう。定理は、 $\displaystyle{x' = x_*}$ だと言っているわけですね。
そこで、背理法で行きます。つまり $\displaystyle{x' \neq x_*}$ を仮定して、それが定理の仮定に矛盾する結果を導くことを示します。
さて、部分列は必ず、もとの実数列の収束先に収束します（証明はこちら）。なので、部分列 $\displaystyle{\{ x_{i_n} \}_{n=0}^{\infty}}$ は、 $\displaystyle{x'}$ に収束します。
ここで、 $\displaystyle{x' \neq x_*}$ とします。つまり、両者は数直線上の別の点だ、ということですね。別の点だということから、両者の間には距離がある（距離が正である）ことになります。だから

$\displaystyle{ d(x',x_*) > 0 }$

ですね。このとき、 $\displaystyle{x'}$ に収束するからには $\displaystyle{x_*}$ には収束しない、ということがわかります。
なぜなら、 $\displaystyle{\epsilon >0}$ を、

$\displaystyle{ \epsilon < d(x',x_*) }$

を満たすように定めてしまうと、部分列 $\displaystyle{ \{ x_{i\n} \}_{n=0}^{\infty} }$ が $\displaystyle{x'}$ に収束することから、ある番号以降は

$\displaystyle{ d(x_{i_n}, x') < d(x',x_*) - \epsilon }$

が成り立ってしまうわけで、その場合、

$\displaystyle{ \epsilon < d(x_{i_n}, x_*) }$

となってしまいます。これでは $\displaystyle{x_*}$ に収束するとは言えません。仮定に矛盾です。なので、背理法の仮定 $\displaystyle{x' \neq x_*}$ が間違っていたのであって、 $\displaystyle{x' = x_*}$ が正しい、ということになります。これで証明は終わりです。