「部分列は、もとの実数列の収束先に収束する」の証明

『経済学のための数学入門』、練習問題2.2.1（1）（74頁）。

実数列 $\displaystyle{\{ x_i \}_{i=0}^{\infty}}$ の任意の部分列 $\displaystyle{\{ x_{i_n} \}_{n=0}^{\infty}}$ を考える。このとき、
「 $\displaystyle{\{ x_i \}_{i=0}^{\infty}}$ が $\displaystyle{x_*}$ に収束する」
ならば
「 $\displaystyle{\{ x_{i_n} \}_{n=0}^{\infty}}$ が $\displaystyle{x_*}$ に収束する」

部分列についてはこちら。
実数列の収束についてはこちら。
もとの実数列がある実数に収束するときには、その実数列からつくられるどんな部分列も、もとの実数列の収束先に収束する、ってことですね。

まずは、もとの実数列が $\displaystyle{x_*}$ に収束する、という前件の方を、ほぐしてみましょう。これはもう収束の定義そのままで、要するに任意の $\displaystyle{\epsilon>0}$ を定めると、ある番号以降は、

$\displaystyle{ d(x_i, x_*) < \epsilon }$

となるわけです。その番号を $\displaystyle{k}$ としておきましょう。はい、ここで一区切り。

次に、部分列というのは、もとの実数列から、「順番を変えずにとりだした無限列」ですから、上の $\displaystyle{k}$ よりも大きい番号が含まれていますから、その（部分列における）番号を $\displaystyle{i_m}$ としましょう。部分列の、 $\displaystyle{i_m}$ 以降の番号は、当たり前ですがすべて $\displaystyle{k}$ 以降の番号ですから、上の不等式が成り立ちます。つまり、

$\displaystyle{ d(x_{i_n}, x_*) } < \epsilon$

これはつまり、部分列 $\displaystyle{\{ x_{i_n} \}_{n=0}^{\infty}}$ が実数 $\displaystyle{x_*}$ に収束するってことですね。これで証明は終わりです。