「収束する実数列はコーシー列である」の証明
『経済学のための数学入門』、定義2.2.6（74頁）のあたり。
収束する実数列は、コーシー列である。
実数列の収束については、まずこちら。
ある実数列がコーシー列（Cauchy列）であるというのは、番号がすごく大きくなると（数列がだいぶ進むと）、要素同士の値の差がすごく小さくなるよ、ということ。ちゃんと言うと、
がコーシー列であるとは、
を任意に定めても、必ずどこかの番号以降は、
となっているということ。
となります。
さて、定理が言っているのは、収束する実数列は必ずこのコーシー列になってるよ、ということですね。これはすごく簡単に示せます。
が成り立つということです。
ここで、 と
の距離を考えると、
となっています。三角不等式というやつですね。絶対値で書いた方がわかりやすいでしょうか。
まあともかく、さっきの結果を右辺に適用すると、
となりますから、任意の について、必ず、ある番号以降の二つの要素の間の距離はそれ以下だ、ということが示されました。つまり、その実数列はコーシー列だということです。証明はこれで終わりです。
