定理2.1.2　自然数の集合は上に有界ではない

『経済学のための数学入門』、定理2.1.2（65頁）。

自然数の集合 $\displaystyle{\mathbf{N}}$ は上に有界ではない。

自然数の集合というのは、 $\mathbf{N} = \{ 0, 1, 2, 3, \cdots, n, n+1, \cdots \}$ のことですね。
「上に有界」というのは「上界がある」ということです。その場合「最小上界」が存在するんでした（詳しくはこちら）。この「連続性の公理」を使って、定理を証明します。
自然数の集合に「上界がある」としたら、それはつまり、どんな自然数よりも大きい（小さくない）実数が存在するということですね。これは直観的に間違っている感じがしますが、間違っているということを、連続性の公理から証明するわけです。

背理法を使います。
$\displaystyle{\mathbf{N}}$ が上に有界だ、と仮定しましょう。すると、「連続性の公理」により、最小上界 $\displaystyle{b^*}$ が存在するはずです。
$\displaystyle{b^*}$ が最小上界だということは、 $\displaystyle{\mathbf{N}}$ にはそれより小さい上界はないということですから、 $\displaystyle{b^*}$ よりも小さい実数、たとえば $\displaystyle{b^* - \tfrac{1}{2}}$ を考えてやると、これは $\displaystyle{\mathbf{N}}$ の上界ではありません。
「上界ではない」ということは、「どの自然数よりも大きい（小さくない）わけではない」ということですから、つまり、「それよりも大きい自然数がある」ということです。その自然数を $n \in \mathbf{N}$ としましょう。すると当然、

$\displaystyle{b^* - \frac{1}{2} < n}$

ですよね。移項すると次のようになります。

$\displaystyle{b^* < n + \frac{1}{2}}$

ここで、右辺だけさらに大きくしてみます。つまり

$\displaystyle{b^* < n + \frac{1}{2} < n + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = n + 1}$

真ん中を省略すると

$\displaystyle{b^* < n + 1}$

となりました。 $n+1$ というのはもちろん自然数ですから、自然数集合 $\mathbf{N}$ の「（最小）上界」であるはずの $b^*$ よりも大きな自然数 $n+1$ が存在するという結論になってしまいました。これは矛盾です。
矛盾が導かれたということは、最初の仮定が間違っていたということです。つまり「 $\displaystyle{\mathbf{N}}$ は上に有界だ」は間違いで、「 $\displaystyle{\mathbf{N}}$ は上に有界ではない」が正しいということになります。以上で証明は終わりです。