「正の平方根は一意」の証明

mathematics

『経済学のための数学入門』、練習問題2.1.4（65頁）。テキストに解答が載っていなくて、方針だけなので、あんまり自信ががありませんが。

任意の正の実数 に対して、 を満たす正の実数 が唯一つ存在する。


証明の方針は、 となるような非負実数 の集合の最小上界が、 の正の平方根であることを示すことで、つまり最小上界の一意性によって、正平方根の一意性を示すというわけです。
まずは、正の実数 に対して、集合 を用意します。明らかに、 なので、 ですね（ という要素があるから、空集合ではないということ）。
次に、 に注目です。この両辺に をかけてやりましょう。正数の逆数は正です（証明はこちら）から、

となります。任意の に対して、それよりも大きな数 があるということですから、 には「上界」がある、つまり「上に有界」だということがわかりました。上に有界な非空集合には最小上界がありますよね（この辺の事情についてはこちら）。
そこで、 としてやります。以下では、 でも でもないことを背理法で示すことによって、 であることを示します。以下、便宜のために という書き方を採用します。


まずは、 と仮定しましょう。この両辺に をかけてやります。

ここで、自然数 を導入して、両辺に をかけてやります。

は がものすごく大きくなると に近づきますから、そのとき最右辺は に近づきます。ということは、どこかで、

となるような を見つけることができます（ここがちょっと自信なし）。このとき、 ですが、同時に でもあります。 の上界であるはずの が、 の要素である よりも小さい、というありえないことになっています。これは矛盾ですから、最初の仮定 が間違いだということになります。


次に、 と仮定します。上と同じように（ちょっと省略しますが）、この両辺に をかけます。

は がものすごく大きくなると に近づきますから、どこかで

となるような を見つけることができます。このとき、 は の上界ですが、同時に、 でもあります。つまり、最小上界であるはずの よりも小さい上界がある、というおかしなことになりました。これは矛盾ですから、最初の仮定である が間違いだということになります。


以上で、 でもなければ でもないことがわかりましたので、 であるという結論になります。
ここまでで、 の最小上界が、 の正の平方根だということがわかりました。あとは、これが一意だ（つまり、他にはない）ということを示すだけです。

方針としては、実数 が、 を満たす場合に、 とすると矛盾が導かれることを示します。
だということは、 か かのどちらかです。
まずは、 としてみます。この両辺に をかけましょう。

となって、

となります。 を仮定したら が導かれたわけですから、矛盾です。なので、仮定の が間違いだということです。
他方、 を仮定しても、まったく同じやり方で、 が導かれてしまって、仮定の が間違いだということになります。
でもなければ でもないということになりましたので、 だという結論になります。
つまり、2乗したら になる正の数というのは、別の文字で書いてみても、必ず と等しいことが示されてしまうわけです。つまり、一意だということです。