実数列の収束と大小関係 - たけみたの脱社会学日記

『経済学のための数学入門』、定理2.2.1（5）（69頁）。

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a_*, \lim_{n \to \infty} b_n = b_* }$ のとき、
$\displaystyle{ (\forall n \in \mathbf{N}, a_n \leq b_n ) \Longrightarrow \left(\lim_{n \to \infty} a_n \leq \lim_{n \to \infty} b_n \right) ( \Longleftrightarrow (a_* \leq b_*)) }$

実数列の収束についてはまずこちらを。
同じ番号の要素同士を較べたら、つねに一方の実数列の方が数が大きい（小さくない）ときは、収束先同士を較べてもそっちの方が大きい（小さくない）、ってことですね。

まずは、前件を検討しますと、

$\displaystyle{ (\forall n \in \mathbf{N}, a_n \leq b_n ) \Longleftrightarrow (\forall n \in \mathbf{N}, 0 \leq b_n -a_n ) }$

ですから、実数列 $\displaystyle{ \{ c_n \}_{n=0}^{\infty} = \{ b_n - a_n \}_{n=0}^{\infty} }$ を考えましょう。これの収束先はどうなるでしょうか。

$\displaystyle{ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} c_n &= \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) \\ &= \lim_{n \to \infty} (b_n + (- a_n)) \\ &= \lim_{n \to \infty} b_n + \lim_{n \to \infty} (-a_n) \\ &= \lim_{n \to \infty} b_n - \lim_{n \to \infty} a_n \\ &= b_* - a_* \end{align*} }$

2行目から3行目にかけて「実数列の収束と和」の話を、3行目から4行目にかけて「実数列の収束と正負」の話を使っています。この最後の収束先を $\displaystyle{c_* = b_* - a_*}$ と書くと、

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} c_n = c_*}$

ということですね。

次に後件の方を検討しますと、

$\displaystyle{ (a_* \leq b_*) \Longleftrightarrow (0 \leq b_* - a_* = c_*) }$

ですから、結局、要するに

$\displaystyle{ (\forall n \in \mathbf{N}, 0 \leq c_n) \Longrightarrow (0 \leq c_*) }$

を証明すればいいわけです。

証明は背理法を使います。導きたいのは $\displaystyle{0 \leq c_*}$ ですから、 $\displaystyle{c_* < 0}$ を仮定します。背理法というのは、ある仮定をおくと、それ以外の仮定と矛盾する結果が出てしまう、だから最初の仮定が間違い、ということを示す証明法です。今回の場合、「それ以外の仮定」というのは前件の $\displaystyle{\forall n \in \mathbf{N}, 0 \leq c_n}$ ですから、それの否定、つまり $\displaystyle{\exists n \in \mathbf{N}, c_n < 0}$ が導かれてしまえばOKということですね。まとめていうと、

$\displaystyle{ (c_* < 0 ) \Longrightarrow (\exists n \in \mathbf{N}, c_n < 0) }$

を示す、というのが証明の流れです。

まずは、最終的に否定されるべき仮定 $\displaystyle{ c_* < 0 }$ を検討しましょう。言葉でいうと「負だから、絶対値をとるとマイナスがつく」ということが言えますね。つまり、

$\displaystyle{ (c_* < 0) \Longrightarrow ( |c_*| = -c_* (\neq 0) ) }$

となることを覚えておきましょう。

次に、

$\displaystyle{ c_n - c_* \leq | c_n - c_* | }$

という一般的な事実を出発点にします（絶対値の中身は負かもしれないので、絶対値をとると中身より大きくなることがある、ということです）。最左辺を $\displaystyle{c_n}$ にするために移項をしましょう。

$\displaystyle{ c_n \leq | c_n - c_* | + c_*}$

ここで、ちょっと実数 $\displaystyle{\tfrac{|c_*|}{2}}$ を導入します。 $\displaystyle{ \{ c_n \}_{n=0}^{\infty} }$ が実数 $\displaystyle{c_*}$ に収束するということから、ある番号以降は、

$\displaystyle{| c_n - c_* | \leq \frac{|c_*|}{2}}$

が成り立ちます。この結果をもってさっきの不等式に戻りますと、

$\displaystyle{c_n \leq | c_n - c_* | + c_* \leq \frac{|c_*|}{2} + c_* < |c_*| + c_* = -c_* + c_* = 0 }$

となりますから、真ん中を抜くと

$\displaystyle{c_n < 0 }$

となっていますね。これで背理法の目標は達成です。定理の仮定に矛盾する結果が出たので、背理法の仮定 $\displaystyle{c_* < 0}$ が間違いで、その否定である $\displaystyle{0 \leq c_*}$ が正しいということになります。これで証明は終わりです。