行列式を使った連立方程式の解き方 - たけみたの脱社会学日記

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 5x&+&2y&=&23 \\ 2x&+&y&=&10 \end{matrix}\right.}$

は行列で書くと、

$\displaystyle{\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 23 \\ 10 \end{matrix} \right)}$

と書けるよ。このとき、

$\displaystyle{x= \frac{\left| \begin{matrix} 23 & 2 \\ 10 & 1 \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right|} = \frac{23 \cdot 1 - 2 \cdot 10}{5 \cdot 1 - 2 \cdot 2} = \frac{23-20}{5-4} = 3}$
$\displaystyle{y= \frac{\left| \begin{matrix} 5 & 23 \\ 2 & 10 \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right|} = \frac{5 \cdot 10 - 23 \cdot 2}{5 \cdot 1 - 2 \cdot 2} = \frac{50-46}{5-4} = 4}$

というように、行列式の値を計算することで連立方程式が解けるよ。このやり方だと、代入法を使うより簡単に解けるよ。
　どうやっているかというと、

（1）分母だけ先に計算しておこう。分母はつねに、行列表記したときの左辺の係数行列 $\displaystyle{\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)}$ の行列式 $\displaystyle{\left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right|}$ なので、これだけ先に計算しておくと便利。行列式の計算は、２×２の場合は、「右下に向かってかけたものから左下に向かってかけたものを引く」と出るよね。

（2）分子は、右辺の一列を、左辺の行列に押し込んで作る。つまり、分子は、右辺の $\displaystyle{\left( \begin{matrix} 23 \\ 10 \end{matrix} \right)}$ を、左辺の係数行列 $\displaystyle{\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)}$ の一列と入れ替えたものの行列式。どの列と入れ替えるかは、 $\displaystyle{x}$ なら1列目、 $\displaystyle{y}$ なら2列目。つまり左辺の未知数の行列の $\displaystyle{i}$ 行目の値を出すときは、係数行列の $\displaystyle{i}$ 列目を入れ替えるということ。

（3）このやり方で未知数の数がいくつでも連立方程式を（解けるものなら）解くことができる。

なぜそうなるのか、についてはこちら→「逆行列と行列式による連立方程式の解法」。