たけみたの脱社会学日記

分散の式変形

統計数学

たまに書かないとTEXの書き方忘れてしまうので。
分散というのは、平均からの偏差の２乗の平均のことです。

$\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2}$

これは次のように計算できます。

$\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\sum{x_i}^2-\bar{x}^2}$

つまり、データ値の２乗の平均から、平均値の２乗を引いたものと同じです。

なぜそうなるのか式変形を確認してみましょう。

$\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2}$

まずはシグマの右の2乗を展開しますよ。

$\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\sum(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2)}$

次にシグマを分配します。

$\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\left(\sum{x_i^2}-\sum{2x_i\bar{x}}+\sum{\bar{x}^2}\right)}$

シグマの中身の係数を外に出しましょう。共通因数で括るってやつですね。

$\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\left(\sum{x_i^2}-2\bar{x}\sum{x_i}+\bar{x}^2\sum{1}\right)}$

今度は $\displaystyle{\frac{1}{n}}$ を分配します。あと、 $\displaystyle{\sum{1}}$ っていうのは、 $\displaystyle{1}$ を $\displaystyle{n}$ 回足すってことだから、 $\displaystyle{n}$ です。

$\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\sum{x_i^2}-2\bar{x}\cdot\frac{1}{n}\sum{x_i}+\bar{x}^2\cdot\frac{1}{n}\cdot n}$

真ん中に注目です。 $\displaystyle{\frac{1}{n}\sum{x_i}}$ というのがありますね。これはつまり平均てことだから、 $\displaystyle{\bar{x}}$ です。

$\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\sum{x_i^2}-2\bar{x}\cdot\bar{x}+\bar{x}^2}$

$\displaystyle{\bar{x}^2}$ がプラスマイナスできますね。というわけで

$\displaystyle{s^2=\frac{1}{n}\sum{x_i^2}-\bar{x}^2}$

できたー。やったー。