実数列の収束 - たけみたの脱社会学日記

『経済学のための数学入門』、定義2.2.4（68頁）。

「実数列 $\displaystyle{ \{ x_i \}^{\infty}_{i=0} }$ がある実数 $\displaystyle{x_* \in \mathbf{R} }$ に収束する」とは、 $\displaystyle{\epsilon >0}$ という正の実数を、なんでもいいから一つ定めると、それに対して番号 $\displaystyle{\bar{n}}$ が一つ定まり、 $\displaystyle{\bar{n}}$ 以降のすべての番号 $\displaystyle{n \geq \bar{n}}$ について、 $\displaystyle{x_*}$ との距離が、 $\displaystyle{d(x_n,x_*) \leq \epsilon}$ となることをいう。

上の定義を理解するには、「実数列」と「（実数間の）距離」の、二つの概念を理解すればよいです。
実数列というのは、実数が順番に、無限に並んでいるもののことですね。順番に応じて、それぞれの実数に番号がついています。それをこう書きます。

$\displaystyle{ \{ x_i \}^{\infty}_{i=0} = x_0, x_1, x_2, \cdots }$

二つの実数の間の距離とは、直観的には「数直線上の幅」のことですが、「差の絶対値」として定義します。

$\displaystyle{ \forall x, y \in \mathbf{R}, d(x,y)=|x-y|}$

です。

さて、では上の、「実数列の収束」の定義の意味ですが、まずは $\displaystyle{ \{ x_i \}^{\infty}_{i=0} }$ が $\displaystyle{ x_* }$ に収束している、ということにしておきます。
そのとき、 $\displaystyle{\epsilon > 0}$ を一つ定めるというのは何をしていることになるのでしょうか。数直線で考えると、これは要するに、 $\displaystyle{ x_* }$ を中心に、 $\displaystyle{ x_* - \epsilon }$ から $\displaystyle{ x_* + \epsilon }$ まで、という一つの「幅」を設定しているわけです。
定義の後半に述べられているのは、この幅をどんなふうに設定しても、必ず「ある番号以降はすべてこの幅の中に収まる」ということです。
収束の定義を、全部記号で書いておきましょう。最初に書いたのと意味は同じです。

$\displaystyle{ \begin{align*} &\lim_{i \rightarrow \infty} x_i = x_* \\ &\Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \bar{n} \in \mathbf{N}, \forall n (\bar{n} \leq n), d(x_n, x_*) \leq \epsilon \end{align*} }$

距離の定義に従って、絶対値で書くと、こうですね。

$\displaystyle{ \begin{align*} &\lim_{i \rightarrow \infty} x_i = x_* \\ &\Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \bar{n} \in \mathbf{N}, \forall n (\bar{n} \leq n), |x_n - x_*| \leq \epsilon \end{align*} }$