「単位元は存在するなら1つだけ」の証明
『経済学のための数学入門』練習問題2.1.1（1）（62頁）。
集合
上で定義された2項演算
について、この演算の単位元は、もし存在するなら唯一つである。
「演算」というのは加法（足し算「＋」）とか乗法（掛け算「×」）のことをイメージしておけばいい。
「単位元」というのは、その演算をしても、何も変わらないような要素のこと。加法でいうと、
というふうに、「0を足す」というのは「何もしない」のと同じだ、ということで、0が単位元。
乗法の場合は、
というわけで、「1をかける」というのは「何もしない」のと同じだ、ということで、1が単位元。
このように、加法の単位元は0だが、乗法の単位元は1というふうに、同じ集合（ここでは実数集合）であっても、演算ごとに単位元は違う。つまり、「かくかくの集合上で定義されたしかじかの演算の単位元」という言い方になるわけだ。
さて、集合によっては、また演算によっては、単位元は存在しないこともあるが、もし存在するなら必ず唯一つだけしか存在しない、というのが証明すべき事柄だ。
「唯一つ」というのをどうやって示すか、というのがポイントだが、戦略としては、2通りの仕方で表してやっても、その2つがイコールだということが示されてしまう、ということを示してやればいい。
「もし存在するなら」という仮定法の話なので、「存在する」と仮定してやろう。「2通り」ということで、
と
はどちらも、集合
ということにしてやる。そうすると、 は単位元だから、
ということがいえる。同様に、 も単位元だから、
ということもいえる。全部あわせてやれば、
というわけで、2通りの表し方をしてやっても結局はイコールで結ばれる、つまり、存在するとしたら唯一つだ、ということが証明された。
