実数列の収束と和 - たけみたの脱社会学日記

『経済学のための数学入門』、定理2.2.1（3）（69頁）。

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a_*, \lim_{n \to \infty} b_n = b_* }$ のとき、
$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n = a_* + b_* }$

実数列の収束についてはまずこちらを。
これは直観的に分かりやすいですね。二つの収束する実数列があるとき、それらの実数列の各要素同士の和としてつくられる実数列は、二つの実数列の収束先の和に収束する、と。一言で（乱暴に）いうと、和の収束先は収束先の和である、ということです。

問題になっているのは、実数列 $\displaystyle{ \{ a_n + b_n \}_{n=0}^{\infty} }$ が実数 $\displaystyle{ a_* + b_* }$ に収束するかどうか、という話ですから、考えるべきは、距離 $\displaystyle{ d(a_n + b_n, a_* + b_*) }$ ですよね。なのでこれを式変形していきます。

$\displaystyle{ \begin{align*} d(a_n + b_n, a_* + b_*) &= |(a_n + b_n) - (a_* + b_*)| \\ &= |(a_n - a_*) + (b_n - b_*)| \\ &\leq |a_n - a_*| + |b_n - b_*| \end{align*} }$

最後の不等号は、「足してから絶対値をとるよりも、絶対値をとってから足した方が大きい可能性がある」というやつです（足す数同士の符号が違うと減っちゃうから）。
さてここで、 $\displaystyle{\tfrac{\epsilon}{2}}$ という正数を導入しましょう。 $\displaystyle{\{ a_n \}_{n=0}^{\infty}}$ が $\displaystyle{a_*}$ に収束するということから、ある番号以降は

$\displaystyle{|a_n - a_*| \leq \frac{\epsilon}{2}}$

となります。また $\displaystyle{\{ b_n \}_{n=0}^{\infty}}$ が $\displaystyle{b_*}$ に収束するということから、ある番号以降は

$\displaystyle{|b_n - b_*| \leq \frac{\epsilon}{2}}$

となります。この2つの番号は、一致するとは限りませんが、どちらか遅い方（大きい方）以降は、どちらも成り立つはずですからそのときには、

$\displaystyle{d(a_n + b_n, a_* + b_*) \leq |a_n - a_*| + |b_n - b_*| \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon}$

となります。真ん中を抜かすと

$\displaystyle{d(a_n + b_n, a_* + b_*) \leq \epsilon}$

ですね。これは任意の $\displaystyle{\epsilon > 0}$ について成り立ちますから、ということは定義上、実数列 $\displaystyle{ \{ a_n + b_n \}_{n=0}^{\infty} }$ は実数 $\displaystyle{ a_* + b_* }$ に収束する、ということになりますね。