実数列の収束と正負 - たけみたの脱社会学日記

『経済学のための数学入門』、定理2.2.1（1）（69頁）。

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a_*}$ のとき、
$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} -a_n = -\lim_{n \to \infty} a_n = -a_*}$ である。

実数列の収束についてはこちら。
これは要するに、数直線上の $\displaystyle{0}$ のこっち側で実数列の収束が起こっているときには、 $\displaystyle{0}$ のあっち側でも、対称的な形で実数列の収束が起こっているよ、ということです。

実数列 $\displaystyle{ \{ a_n \}^{\infty}_{n=0} }$ が実数 $\displaystyle{a_*}$ に収束する、というとき、ポイントになるのは距離 $\displaystyle{ d(a_n, a_*) = |a_n - a_*| }$ ですよね。
同様に、実数列 $\displaystyle{ \{ -a_n \}^{\infty}_{n=0} }$ が実数 $\displaystyle{-a_*}$ に収束するかどうかが問題になるときには、ポイントは距離 $\displaystyle{ d(-a_n,-a_*) = | -a_n - (-a_*) | }$ です。なので、これをもう少し変形していきましょう。すると

$\displaystyle{ \begin{align*} d(-a_n,-a_*) &= | -a_n - (-a_*) | \\ &= | -a_n + a_* | \\ &= | a_n - a_* | \\ &= d(a_n,a_*) \end{align*} }$

これが、すべての $\displaystyle{n \in \mathbf{N}}$ について成り立ちます。つまり、 $\displaystyle{a_n}$ と $\displaystyle{a_*}$ の間の距離と、 $\displaystyle{-a_n}$ と $\displaystyle{-a_*}$ の間の距離は、つねに等しいということです。
ということは、 $\displaystyle{ \{ a_n \}^{\infty}_{n=0} }$ が $\displaystyle{a_*}$ に収束する、つまり

$\displaystyle{\forall \epsilon > 0, \exists \bar{n} \in \mathbf{N}, \forall n (\bar{n} \leq n), d(a_n, a_*) \leq \epsilon }$

であるときには、つねに、

$\displaystyle{\forall \epsilon > 0, \exists \bar{n} \in \mathbf{N}, \forall n (\bar{n} \leq n), d(-a_n, -a_*) \leq \epsilon }$

だということです。これはすなわち、 $\displaystyle{ \{ -a_n \}^{\infty}_{n=0} }$ が $\displaystyle{-a_*}$ に収束するということですよね。なので証明はこれで終わりです。