「非負実数の不等式はは両辺を二乗しても不等号の向きが変わらない」の証明

『経済学のための数学入門』、練習問題2.1.5（66頁）。

$\displaystyle{a, b, \in \mathbf{R}}$ , $\displaystyle{0 \leq a}$ , $\displaystyle{0 \leq b}$ とする。このとき、
$\displaystyle{a \leq b \Longleftrightarrow a^2 \leq b^2}$
である。

目標である $\displaystyle{a^2 \leq b^2}$ を変形してみましょう。

$\displaystyle{\begin{align*} a^2 &\leq b^2 \\ 0 &\leq b^2 - a^2 \\ 0 &\leq (b-a)(b+a) \end{align*} }$

こうなりますね。つまり、 $\displaystyle{a^2}$ と $\displaystyle{b^2}$ の大小関係の話だったのが、 $\displaystyle{b-a}$ と $\displaystyle{b+a}$ の正負の話になりました。
ここで、 $\displaystyle{0 \leq a}$ , $\displaystyle{0 \leq b}$ は仮定されていますので、

$\displaystyle{0 \leq b+a}$

は決まっています。
ここで、

$\displaystyle{a \leq b \Longleftrightarrow 0 \leq b-a}$

ですから、結局

$\displaystyle{\begin{align*}a \leq b &\Longleftrightarrow 0 \leq b-a \\ &\Longleftrightarrow 0 \leq (b-a)(b+a) \\ &\Longleftrightarrow 0 \leq b^2 - a^2 \\ &\Longleftrightarrow a^2 \leq b^2 \end{align*}}$

となって証明は終わりです。