共分散の式変形

共分散というのは

で、「平均からの偏差の積の平均」でした。実はこれは、「積の平均と平均の積の差」と同じなんです。何を言ってるのかわからねーと思うが・・・えーと、実際見てみましょう。
平均値は とか と書くことにします。シグマの上下もめんどくさいから省略しましょう。そうするとこうですね。

とりあえず、シグマの右の、括弧と括弧の掛け算をやりますね。中学生レベルですよ。

で、今度はシグマの分配法則です。毎日、収入と支出の差を計算しておいて、その差を月末に合計するのも、一ヶ月分の収入を合計して、そこから一か月分の支出の合計を引くのもおんなじ、というあれです。

シグマの中の や を外に出しましょう。いわゆる「共通因数で括る」というやつですね。これも中学生レベル。

つぎは の分配法則です。それから、 というのは、 を 回足すってことなので、 ですね。

ではちょこちょこっといじります。

真ん中の、 とか、 というのは、それぞれ と の平均値ですよね。だから と に置き換えますね。

あ、プラマイで消えそうです。やったー。ということで、

完成。「積の平均から、平均の積を引いたもの」になりましたよね。
えーと、これの図形的なイメージですが、いま出先なんで、それについては帰ってから。