対数微分法 - たけみたの脱社会学日記

　教えて！goo：微分について（自然対数）」の回答が（正しいけど）不親切すぎて質問者がぜんぜんわかってなさそうなので解説するよ（もう3年も前の記事だけど）。

すみません自然対数（注）の微分 $y=e^{\frac{1}{x}}$ の $y'=$ 及び $y''=$ をわかる方教えて頂けませんか？　使用する方式も教えて頂ければ幸いです。よろしくお願い致します。
　
　　（注）それは自然対数じゃないよ。

　累乗のとこにxが出てきてややこしそうなときは両辺の対数をとるんだ！
　　 $\log y = \log e^{\frac{1}{x}}$
そうすると、累乗のとこにあったxが下に降りてくるよ。
　　 $\log y = \frac{1}{x} \log e$
$\log e$ っていうのは $\log_e e$ のことだから $\log e = 1$ （eを1乗したらe）だよ。というわけで
　　 $\log y = \frac{1}{x}$
だいぶん簡単になったから、ここで両辺をxで微分するよ。でも左辺にxが入ってないからどうやっていいかわからないね。こういうときは、とりあえずyで微分してやって、それに「yをxで微分したもの」をかけてやればいいよ（合成関数の微分だよ）。というわけで
　　 $\frac{1}{y} \times y' = - \frac{1}{x^{2}}$
となって、
　　 $y' = - \frac{1}{x^{2}} \times y$
最初の $y=e^{\frac{1}{x}}$ を代入して、
　　 $y' = - \frac{1}{x^2} \times e^{\frac{1}{x}} = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$
となるよ。