写像

えーと、関係というのは、ある集合の要素からもう一つの集合の要素に矢印が出ているように描けるよ。で、ある関係が写像であるかどうかは、矢印が出発する方の集合を見てみればわかるよ。その集合のすべての要素から、それぞれ1本ずつ矢印が出ていれば写像だよ。矢印が出ていない要素があったり、複数本出ている要素があると写像とはいわないよ。
写像の矢印を逆にたどった関係は、必ずしも写像ではないよ。なんでかというと、写像の矢印が到達する方の集合を見てみると、矢印が届いていない要素や、矢印が複数本来ている要素がありうるからだよ。逆にたどったときにも写像であるためには、元の写像が全単射でないといけないよ。これは矢印が到達する側の集合を見てみればわかるよ。その集合のすべての要素に矢印が届いていれば全射で、複数本届いている要素がなければ単射だよ。だから、すべての要素に1本ずつ届いていれば全単射だよ。このとき、二つの集合の要素は1対1対応するよ。ということは、最初の写像を逆にたどった関係も写像だから、これを最初の写像の逆写像というよ。
ちなみに逆像というのは写像の矢印の根元一般のことをいうので、全単射じゃない（逆写像の存在しない）写像にも逆像は存在するよ。つまり、逆写像の矢印の先は元の写像の逆像だけど、逆像だからといって逆写像の先とは限らないよ。