18年度センター試験数学I　第1問

試験

http://www.dnc.ac.jp/center_exam/18exam/mondai_pdf/18sugaku1_q.pdf
前半は二次方程式 x^2-3x-1=0 を解いたら解が無理数で出てくるからそれがどのくらいの大きさか調べろって問題だよ。解の公式を忘れた人は、平方完成して解けばいいよ。
　　x^2-3x-1=0
　　\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{13}{4}
　　x-\frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{13}}{2}
　　x=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}
わーいできたー！これで3点もろたよー！ほんでこれがどのくらいの大きさかを知りたいから、とりあえず \sqrt{13} がどのくらいの大きさか調べるよ。
　　\sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16}
だから \sqrt{13} は 3 と 4 の間だね。簡単だね。
　てことは \frac{3 + \sqrt{13}}{2} は \frac{3 + 3}{2}=3 と \frac{3 + 4}{2}=3.5 の間だね。整数でいうと 3 と 4 の間だね。これで2点ね。
　同じようにして \frac{3 - \sqrt{13}}{2} は\frac{3 - 4}{2}=-0.5 と \frac{3 - 3}{2}=0 の間だね。整数でいうと -1 と 0 の間だね。また2点もろたよ。
　以上で前半終了だよ。全部で7点もろたね。うれしいね。

                                                                                        • -

　さて後半だよ。\alpha = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} とおいて、 \alpha - \frac{1}{\alpha} とか \alpha + \frac{1}{\alpha} とか \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} とか \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} といったややこしそうな計算をしろって問題だよ。
　これは代入して複雑な計算を正確にする能力を調べている・・・んではないよ。 \alpha が最初の二次方程式の解であることを使って、難しそうな計算を簡単にする能力を調べているんだよ。つまりね、
　　 \alpha^2-3\alpha-1=0
が成り立つわけだから、移項して
　　 \alpha^2=3\alpha+1
とできるわけだよ。こうすれば二次を一次にできるということね。というわけで、
　　 \alpha - \frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha^2-1}{\alpha} = \frac{(3\alpha+1)-1}{\alpha} = \frac{3\alpha}{\alpha} = 3
というように、 \alpha の値がわかってなくても（つまり前半が解けてなくても）答えが出たね。これ3点ね。
　あ、 \alpha - \frac{1}{\alpha} = 3 てことは、 \frac{1}{\alpha} = \alpha - 3 だね。これでマイナス一次を一次に直せるよ。というわけで、
　　 \alpha + \frac{1}{\alpha} = \alpha + (\alpha -3) = 2\alpha -3 = 2 \times \frac{3 + \sqrt{13}}{2} -3 = \sqrt{13}
と、最後だけちょっと代入してやれば答えが出るよ。これも3点。あともだいたいいっしょだよ。
　　 \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} = (3\alpha + 1) + \frac{1}{3\alpha + 1} = \frac{\left(3\alpha + 1 \right)^2 + 1}{3\alpha + 1} = \frac{9\alpha^2 + 6\alpha +2}{3\alpha + 1} = \frac{9 \left(3\alpha + 1) + 6\alpha + 2}{3\alpha + 1}
　　= \frac{33\alpha + 11}{3\alpha + 1} = \frac{11 \left( 3\alpha + 1 \right)}{3\alpha + 1} = 11
と、やっぱり \alpha の値がわからんでもできたね。また3点と。
　さて、三次のやつは、もちろん \alpha^3 = \alpha \cdot \alpha^2 = \alpha \left( 3\alpha + 1 \right) = \dots とやっていってもかまわないけど、次のやり方のほうが簡単だよ。つまり上で出てきた、 \alpha + \frac{1}{\alpha} = \sqrt{13} と、 \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} = 11 を使うやり方だよ。つまり、この二つをかけ合わせちゃうよ。
　　 \left( \alpha + \frac{1}{\alpha} \right) \left( \alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} \right) = 11 \sqrt{13}
　　 \left( \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} \right) + \left( \alpha + \frac{1}{\alpha} \right) = 11 \sqrt{13}
　　 \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} + \sqrt{13} = 11 \sqrt{13}
　　 \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} = 10 \sqrt{13}
できたね！これは4点。第1問はこれで終わりだよ。全部で20点もろたね。よかったね。